Позиционные и непозиционные системы счисления

1. Что такое система счисления?

Система счисления — это способ представления чисел с помощью символов (цифр) по определённым правилам.

2. Виды систем счисления

Позиционные системы счисления

В таких системах значение цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Каждая позиция соответствует определённой степени основания системы.

Формула:
N = aₙ·bⁿ + aₙ₋₁·bⁿ⁻¹ + … + a₀·b⁰

Пример (345): 3×10² + 4×10¹ + 5×10⁰ = 300 + 40 + 5 = 345
Примеры: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная.

Непозиционные системы счисления

Цифры не зависят от позиции, каждая обозначает фиксированное значение.
Пример: XIV = 10 (X) + 4 (IV) = 14
Символы: I, V, X, L, C, D, M.

3. Основные позиционные системы счисления

4. Перевод между системами счисления

I. В любую систему → десятичная
Формула: N = Σ (aᵢ × bⁱ)
Пример: 1011₂ = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1 = 11₁₀

II. Десятичная → любая система
Алгоритм: делим число на основание, записываем остатки, читаем снизу вверх.
Пример: 26₁₀ → 11010₂

III. Между системами, кратными 2 (2 ↔ 8 ↔ 16)
– 110101₂ → 110 101 → 6 5 → 65₈
– 11101010₂ → 1110 1010 → E A → EA₁₆
– 57₈ → 5:101, 7:111 → 101111₂
– 2F₁₆ → 2:0010, F:1111 → 00101111₂

5. Таблица соответствия между системами счисления (0–31)

1F