Логика

Логические схемы и выражения

1. Основные логические операции

1.1 Конъюнкция (И, AND)

Обозначение: A ∧ B

Истинна, только когда оба операнда истинны.

Логическая схема: два входа, один выход — работает как логическое «И» (только оба входа 1 дают на выходе 1).

1.2 Дизъюнкция (ИЛИ, OR)

Обозначение: A ∨ B

Истинна, если хотя бы один операнд истинен.

Логическая схема: два входа, один выход — работает как логическое «ИЛИ» (одного 1 достаточно для 1 на выходе).

1.3 Инверсия (НЕ, NOT)

Обозначение: ¬A

Меняет значение на противоположное.

Логическая схема: один вход, один выход — инвертор (NOT-гейт).

2. Сложные выражения

2.1 Отрицание конъюнкции: ¬(A ∧ B)

Схема: AND-гейт + инвертор на выходе.

2.2 Отрицание дизъюнкции: ¬(A ∨ B)

Схема: OR-гейт + инвертор на выходе.

3. Законы логики

3.1 Основные законы

• Идемпотентность:
  • A ∨ A = A
  • A ∧ A = A
• Коммутативность:
  • A ∨ B = B ∨ A
  • A ∧ B = B ∧ A
• Ассоциативность:
  • A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C
  • A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C
• Дистрибутивность:
  • A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
  • A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

3.2 Де Моргана

• ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
• ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

4. Упрощение логических выражений

Примеры:

1. Упростить: ¬(A ∧ B) → по закону Де Моргана: ¬A ∨ ¬B
2. Упростить: A ∨ (A ∧ B) → по закону поглощения: A
3. Упростить: A ∧ (A ∨ B) → A

Рекомендации:

• Использовать таблицы истинности для проверки эквивалентности выражений.
• Применять законы логики (особенно Де Моргана и дистрибутивность).

5. Логические схемы (описание)

• AND-гейт — два входа, выход 1 только при обоих 1.
• OR-гейт — два входа, выход 1 при хотя бы одном 1.
• NOT-гейт — один вход, инвертирует сигнал.
• NAND — комбинация AND и NOT: ¬(A ∧ B).
• NOR — комбинация OR и NOT: ¬(A ∨ B).

6. Практика

• Построить таблицы истинности.
• Построить схемы по выражениям.
• Упростить выражения, используя законы.
• Проверить эквивалентность через таблицы или схемы.